Tablica

Specjalna tablica pozwala do każdego u znaleźć odpowiadającą mu wiarogodność W; tak więc np. wartości u = 1,642 odpowiada W = 0,8. Należy więc na podstawie statystyki wyzdrowień orzec z wiarogodnością 80%, że L pomaga chorym na białaczkę. Sens tego orzeczenia fiducjalnego jest następujący: gdybyśmy podzielili losowo 150 chorych na dwie grupy 50+100 i nie podali nikomu leku L, to tablica dałaby z prawdopodobieństwem 80% mniejsze u niż 1,642; błędne byłoby jednak twierdzenie, że L leczy średnio 80% chorych na białaczkę.

Statystyka matematyczna korzysta często ze zjawiska dobrze znanego przyrodnikom, które nazywa się „rozkładem normalnym”. Mówi się np., że wysokość mężczyzn w wieku poborowym ma rozkład normalny. Znaczy to, że narysowana linia krzywa, zwana krzywą Gaussa-Laplace’a, pozwala oszacować, jaka frakcja poborowych ma wzrost od 160 do 180 cm (i w ogóle od a do b cm), jeżeli na osi poziomej umieścimy pod wierzchołkiem krzywej napis 167 cm (taka jest średnia wysokość poborowych), a pod przegięciami krzywej napisy 161 cm i 173 cm, czyli 167 ± 6 cm (bo dyspersja wzrostu wynosi 6 cm). Gdy dzięki tym napisom zaopatrzymy całą oś poziomą w skalę wzrostu, a następnie przeprowadzimy przez napisy 160 i 180 linie pionowe, to okaże się, że ograniczą one 86,4%> pola leżącego pod krzywą — taka jest frakcja mających wzrost 160—180 cm. Rozkład normalny ma np. ciężar kulek gradowych, długość ziarn fasoli określonego gatunku i wiele innych cech występujących w przyrodzie. Dzięki tablicom (tablice funkcji theta Laplace’a w rachunku prawdopodobieństwa) takie obliczenia j.w. nie wymagają żadnych rysunków. Zjawisko normalności w przyrodzie tłumaczy rachunek prawdopodobieństwa za pomocą twierdzenia, że suma bardzo wielu bardzo małych, niezależnych zmiennych losowych daje zmienną losową o rozkładzie normalnym.

Powszechnie używaną koncepcją <v statystyce matematycznej jest linia regresji. Przykład : chcemy ze stanu barometru o godzinie 0h00m przepowiadać ilość deszczu, który spadnie w ciągu doby O’”—24h. Mamy obserwacje z całego miesiąca za każdą dobę. Wnosimy je w siatkę milimetrową — każda obserwacja da punkt, którego odciętą jest stan barometru na początku doby (w mm rtęci), a rzędną całkowity opad (w cm wody) w ciągu tejże doby. Przez 30 punktów tak otrzymanych kreślimy prostą L, która mija je możliwie najbliżej. Prognoza na 31 dobę wymaga znajomości stanu barometru na początku tej doby; przypuśćmy, że odczytaliśmy 741 mm. Linia pionowa przez kreskę 741 na osi poziomej trafia L na wysokości 17,5 cm: taki opad przepowiadamy na rozpoczynającą się dobę. Zadaniem statystyki matematycznej jest oszacowanie pewności takiej przepowiedni ; do tego konieczne jest oszacowanie rozproszenia 30 punktów po obu stronach prostej regresji L.

Rachunek prawdopodobieństwa ma ważne zastosowania w fizyce od chwili powstania kinetycznej teorii materii (J. G. Maxwell, M. Smoluchowski, W. Gibbs), która uważa położenie i prędkości drobin materii za zmienne losowe. Dzięki tej koncepcji mógł Smoluchowski uzasadnić (z początkiem XX w.) takie zjawiska, jak ruchy Browna i błękit nieba. W dzisiejszej fizyce podstawową rolę odgrywa teoria kwantów, oparta na rachunku prawdopodobieństwa.

Krótki zarys rachunku prawdopodobieństwa znajduje się w Polskiej Normie PN/N-03001 (PKN, Warszawa 1951) jako wstęp do statystycznej kontroli jakości. Elementarny wstęp do rachunku prawdopodobieństwa napisali B. Gniedenko i A. Chinczyn, polski przekład Warszawa 1954 (o rozwoju rachunku prawdopodobieństwa w Polsce traktuje przypis E. Marczewskiego do II wydania tej książki).

Liczba x

Jeżeli liczba x jest przed próbą znana, a dopiero próba losowa nadaje jej konkretną wartość, to nazywamy x zmienną losową. Przykład: .v jest liczbą oczek na górnej ścianie sześcianu — jaka jest wartość .v, okaże się po rzucie; wiemy, że może to być 1, 2, 3, 4, 5, 6, zależnie od tego, jaka ściana znajdzie się ‘na górze. Jeżeli zmienna losowa x przyjmuje wartość a z prawdopodobieństwem p1} x2 z prawdopodobieństwem p2. Z prawdopodobieństwem pn, to tzw. „oczekiwaną”, czyli średnią wartością zmiennej x, jest liczba Ex.

W teorii gier nazywamy sprawiedliwą taką grę dwuosobową, w której oczekiwaną wygraną jest zero. Jeżeli gracz A płaci przed rzutem kostką graczowi B 3 zł 50 groszy, a po rzucie otrzymuje od niego tyle złotych, ile pojawi się oczek na górze, to jego wygrana wynosi x — 3,50 (w złotych); łatwo sprawdzić, że E(x — 3,50) = 0, więc gra jest sprawiedliwa.

Z prawa wielkich liczb wynika, że przy nieograniczonym powtarzaniu gry sprawiedliwej średni zysk każdego gracza dąży do zera; mimo to rachunek prawdopodobieństwa uczy, że całkowity zysk gracza A będzie od czasu do czasu bardzo duży i że nie ma takiej kwoty, której by ta nadwyżka nigdy nie przekroczyła! (To samo odnosi się do B.)

Gdy x jest zmienną losową i y jest zmienną losową, to x -f y jest też zmienną losową. Przykład. Wielościan drewniany ma na każdej ścianie napisaną jakąś liczbę; nazywamy x tę liczbę, na którą ów klocek upadnie w najbliższym rzucie; _ inny klocek ma inny kształt i ściany jego są inaczej ponumerowane: ten drugi klocek upadnie na y; x + y oznacza sumę tego, co odczytamy, gdy równocześnie rzucimy oba klocki. Ważnym twierdzeniem rachunku prawdopodobieństwa jest równość, która jest prawdziwa dla wszelkich zmiennych losowych x, y (zależnych i niezależnych). Nazywamy niezależnymi zmienne losowe x, y, jeżeli każde zdarzenie dające się określić przez x jest niezależne od każdego zdarzenia dającego się określić przez y.

Podobnie jak sumę x + y zmiennych losowych, możemy określić ich iloczyn xy. Jeżeli x, y niezależne, to E(xy) = Ex • Ey.

Napiszmy s zamiast Ex; s nie jest zmienną losową, lecz stałą, natomiast x — s jest zmienną losową, a także x2 i (x — s)2. Oczekiwaną wartość r« tej ostatniej zmiennej losowej nazywamy wariancją zmiennej losowej x.

Wyobraźmy sobie taki eksperyment: rzucamy od razu 100 kostek i sumujemy wszystkie oczka na górnych ściankach, po czym tę sumę dzielimy przez 100; tak uzyskujemy średnią x wszystkich rezultatów wskazanych przez poszczególne kostki. x jest nową zmienną losową, która ma swoją dyspersję o; łatwo wykazać, że ta dyspersja jest 10 razy mniejsza od o obliczonego przed chwilą dla jednej kostki: a — 0,171. Jest to ogólne twierdzenie; tłumaczy ono, dlaczego średnia z n pomiarów jest dokładniejsza od jednego pomiaru: dlatego, że ma ]fn razy mniejsze wahania losowe. Aby to zrozumieć, trzeba zdać sobie sprawę (K. F. Gauss, 1777— 1855) z tego, że wynik pomiaru — np. pomiaru taśmą mierniczą odległości dwóch tyczek wbitych w ziemię — jest zmienną losową; jej dyspersja określa dokładność, jaką daje pojedynczy pomiar taśmą w danych warunkach; otóż 9-krotny pomiar i przyjęcie za wynik średniej. tego wielokrotnego pomiaru zmniejsza niedokładność 3 razy, bo tyle razy zmniejsza dyspersję.

4) Statystyka matematyczna używa rachunku prawdopodobieństwa do opisu zjawisk masowych. Do końca XIX w. statystyka ograniczała się do rejestrowania dat potrzebnych „statystom”, tj. politykom i osobom sprawującym rządy; były to zwykle dane dotyczące liczby ludności, jej podziału na różne zawody, powierzchni kraju, stanu liczebnego wojska, wysokości obrotów handlowych, wielkości produkcji rolniczej i przemysłowej etc. Ta dawna statystyka nie korzystała z rachunku prawdopodobieństwa. Nowoczesna różni się od niej przede wszystkim metodą próbek. Przykład: Kilka lat temu przeprowadzono w Polsce zdjęcie antropometryczne. Praktycznym celem tego było dostarczenie przemysłowi lekkiemu danych potrzebnych do masowej produkcji odzieży. Nie byłoby to możliwe bez metody próbek. Do uzyskania informacji wystarczającej do określenia wymiarów ubrań, bielizny i obuwia dla dorosłych mężczyzn wystarczy zmierzyć 10 tysięcy mężczyzn wybranych losowo z całej polskiej populacji. Jeżeli uda się nam dobrać taki asortyment obuwia złożony z 40 par, że każdy z owych 10 tys. mężczyzn z wyjątkiem 200 znajdzie w nim parę dobrą dla siebie, to ów asortyment wystarczy dla całej populacji, z wyjątkiem 2%. Istotną rzeczą w tym postępowaniu jest losowość wyboru, a jej zapewnienie było jednym z najważniejszych zadań komisji antropometrycznej.

Statystyczna kontrola jakości stosuje metodę próbek do szacowania frakcji sztuk wadliwych w partiach towaru pozornie jednorodnego. Przykład. Odbiorca zastrzegł sobie, że przed przyjęciem partii wybierze z niej losowo 100 sztuk i odmówi przyjęcia, jeżeli w owej setce znajdzie trzy sztuki wadliwe lub więcej; dostawca wie, że jego towar jest wadliwy w 1% — jakie jest prawdopodobieństwo, że jego najbliższa dostawa zostanie przyjęta? Stanie się to, gdy w setce próbnej, w której średnio jest 1 sztuka wadliwa, znajdzie się 0, 1 lub 2 takie sztuki — prawdopodobieństwo tego jest P0 4- + Pi + P2, przy czym te Pk należy obliczyć z wzoru (3) dla c = 1 i k = 0, 1, 2. Będzie P0 + P, + P3 = i (1/014- 1/1 ! 4- 1/2 1) = = c-i 2,5 = 2,5 : 2,72 = 0,92. Dostawca ma zatem 92% prawdopodobieństwa, że kontrola wypadnie pomyślnie.

Można postawić sobie pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że partia ma co najmniej 1% wadliwości, skoro w próbnej setce nie znaleziono ani jednej sztuki wadliwej. Jest to przykład w statystycznej kontroli jakości na prawdopodobieństwa przyczyn, o których mówiliśmy w punkcie 2). Według dzisiejszych poglądów na rachunek prawdopodobieństwa pytanie to jest fałszywie postawione. Ponieważ praktycy statystycznej kontroli jakości je stawiają, a ponadto lekarze i przyrodnicy mają wciąż z nim do czynienia, angielscy statystycy (R. A. Fisher, K.Pearson) oraz polski statystyk J. Spława-Neyman podali w ciągu ostatnich 50 lat różne sposoby ominięcia trudności. Sposób zwany „argumentem fiducjalnym” polega na zastąpieniu zagadnienia innym: jakie jest prawdopodobieństwo, że partia towaru o wadliwości 1% wykaże w próbnej setce sztuki wadliwe? To zagadnienie da się łatwo rozwiązać, a poprawna odpowiedź brzmi: partia ma co najmniej 1% wadliwości z wiarogodnością 63%. Czytelnik gotów pomyśleć, że wyraz „wiarogodność” jest dziwactwem… Otóż nie: ostrzega on przed fałszywym mniemaniem, jakoby wolno było zastosować prawo wielkich liczb i przewidzieć co najwyżej 1% wadliwości dla wszelkich partii bez sztuk wadliwych w próbnej setce, z tym że przewidywania spełnią się w 63%.

W doświadczeniach agronomicznych, przyrodniczych i lekarskich ważne usługi oddaje „tablica poczwórna” Oto przykład: spośród 150 chorych na białaczkę wybrano losowo 50 i potraktowano lekiem L} którego nie podawano pozostałym stu pacjentom.

Statystyka matematyczna

Wielu badaczy otrzymało reguły różnymi sposobami, kierując się tym, co narwać można naturalnym rachunkiem prawdopodobieństwa, tj. tą koncepcją prawdopodobieństwa, która zrodziła się z obserwacji, a przede wszystkim z eksperymentów przeprowadzonych w myśli na idealnych aparatach do produkowania zdarzeń losowych. W XX w. stworzono teorię miary, która określa pojęcie miary przy pomocy układu reguł podobnych do I-j-V ; twórcy tej teorii (E. Borel i H. Lebesgue) wprowadzili jednak zamiast reguły IV mocniejszy postulat IV’, który rozciąga prawo dodawania na nieskończenie wiele dodajników. Inni matematycy (w latach 1917— 1933) spostrzegli, że niesprzeczność reguł rachunku prawdopodobieństwa wynika z niesprzeczności reguł teorii miary; odtąd uznano ten rachunek za teorię matematyczną, która co do ścisłości nie ustępuje innym działom matematyki.

Już Bernoulli postanowił wyprowadzić ze swojego wzoru (2) wzór (1) i częściowo mu się to udało. W niniejszym artykule wzór (1) nie jest twierdzeniem, lecz definicją prawdopodobieństwa: nie zastanawialiśmy się nad tym, czy istnieje lim m/72, lecz z góry przyjęliśmy, że idealny eksperyment nadaje każdemu zdarzeniu określoną frekwencję, i nazwaliśmy .ją prawdopodobieństwem tego zdarzenia. Nowoczesny rachunek prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo przy pomocy reguł I, II, III, IV’, V i dzięki temu otrzymuje tzw. „mocne prawo wielkich liczb” (F. P. Cantelli, 1917 r.), które orzeka, że lim m/n jest z prawdopodobieństwem i równy p[C).

Zagadnienia, z którymi spotykamy się w przyrodzie, a także w dziedzinach działalności ludzkiej, jak medycyna i technika, najczęściej zmuszają nas do wnioskowania o przyczynach ze skutków. Rzadko praktyk pyta matematyka o to, jakie jest prawdopodobieństwo, że idealnie symetryczna moneta wykaże w 100 rzutach 55 orłów i 45 reszek; znacznie częściej chce wiedzieć, czy moneta, która dała w próbnej serii rzutów rezultat 55:45, jest idealna, i żąda, żeby mu powiedziano, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że frekwencja orłów w nieskończonej serii rzutów nie jest większa od 1/s dla tej monety.

Pierwszym, który zajmował się takimi „prawdopodobieństwami odwrotnymi”, czyli „prawdopodobieństwami przyczyn”, był T. Bayes (1763 r.). Jemu zawdzięczamy odróżnienie tzw, prawdopodobieństw a priori od tzw. prawdopodobieństw a posteriori.

Oto przykład. Wiem/, że kostka do gry ma trzy ściany czerwone, oznaczone 1, 2, 3, i trzy czarne, oznaczone 2, 2, 4. Przed rzutem równe są prawdopodobieństwa obu kolorów; mianowicie 1/z’, to są prawdopodobieństwa a priori znane graczom. Jeden z nich wie, że rzut nastąpił i dał nr 2. Jakie jest teraz (a posteriori) dla niego prawdopodobieństwo, że wyszła czerwień? Jest ono bo z trzech ścian o numerze 2 tylko jedna jest czerwona. Tu numer jest widocznym skutkiem, którego przyczyną może być ściana czerwona lub czarna; przed eksperymentem obie przyczyny .mają równe prawdopodobieństwa; po eksperymencie, który odsłonił graczowi skutek, a nie przyczynę, przyczyna „czerwień” ma prawdopodobieństwo J/3, a „czerń” 2/3.

Sam Bayes spostrzegł* że jego wzory do obliczania prawdopodobieństw a posteriori zwykle są nieużyteczne z braku znajomości prawdopodobieństw a priori, a tzw. hipoteza Bayesa, głosząca, że wszystkie przyczyny są a priori równie prawdopodobne, rzadko zgadza się z rzeczywistością. Powrócimy do tej kwestii w statystyce matematycznej.

Rachunek prawdopodobieństwa

W życiu codziennym przypisujemy różnym możliwościom mniejsze lub większe prawdopodobieństwa: mówimy np., że napotkanie wolnej taksówki na miejscu postoju jest prawdopodobniejsze o godz. 12-ej niż o 16-ej. Rozpowszechnione są gry losowe, w których wygrana zależy od trafnego odgadnięcia, jaką kartę wyciągniemy z talii, lub od tego, jaką liczbę oczek pokaże rzucona kostka. Sławny matematyk i filozof B. Pascal wspomina w liście napisanym W 1654 r. do P. Fermata, że pewien amator gry w’ kości zażądał od niego wytłumaczenia niektórych zjawisk w tej grze, rzekomo sprzecznych z rachunkiem. Tę datę można uważać za początek rachunku prawdopodobieństwa. W 1812 r. ukazał się obszerny traktat P. S. La-place’a Théorie analytique des probabilités (Analityczna teoria prawdopodobieństw) ; dzięki zastosowaniu analizy matematycznej Analiza matematyczna) można było tym rachunkiem objąć znacznie większy zakres zjawisk niż dotychczas. Do początków XX w. jednak nie zdawano sobie dobrze sprawy z tego, że rachunek prawdopodobieństwa głosi prawdziwe twierdzenia, podobnie jak geometria, chociaż przedmiotem tych twierdzeń jest prawdopodobieństwo. (Czytelnik znajdzie w niniejszym tekście kilka takich twierdzeń.) Dziś uważa się powszechnie rachunek prawdopodobieństwa za dział matematyki czystej.

Wyobraźmy sobie talerz o szorstkim dnie, osadzony na pionowej osi; dno talerza jest trójkolorowe: część jego jest czarna (C), część niebieska (N), a część różowa (R). Wprawmy talerz w szybki ruch wirowy wokół osi i rzućmy nań kościaną kuleczkę; po kilkunastu podskokach kuleczka zatrzyma się na jakimś kolorze, który rozpoznamy, gdy talerz stanie. Mamy trzy możliwe przypadki: C, N, R. Powtarzajmy ten eksperyment i zapisujmy kolejne wyniki: C C R C N C R RN… Wyobraźmy sobie, że czynimy to bezustannie — otrzymamy nieskończony ciąg liter. Jak określić ilościowe prawdopodobieństwo p{C) tego, że identyczny talerz da w najbliższym eksperymencie wynik C? Po prostu przez frekwencję litery C w notowanym ciągu, który należy czytać, jak następuje: m oznacza liczbę liter C wśród n pierwszych liter ciągu, a więc m zmienia się, gdy% n rośnie; znak „lim” oznacza granicę, do której dąży ułamek 772/n, gdy n rośnie nieograniczenie. Pomysł streszczony we wzorze (1) można zastosować również do przypadku N i do przypadku R. Tak np. otrzymamy p{C) = Va, p(N) = Vc, p(R) = = V3.

Rachunek prawdopodobieństwa przypisuje zdarzeniom X prawdopodobieństwa p[A’). Z frekwencyjnej definicji prawdopodobieństwa wyjaśnionej przed chwilą wynikają następujące reguły:

I.Jakiekolwiek byłoby A’, jest zawsze

II. Gdy A” jest pewne, to p[A’) = 1, gdy A’ jest niemożliwe, to p(A’) = 0.

III. Gdy A” oznacza nie-A’ (tj. zaprzeczenie AT), to p[A”) = 1 – p(X).

IV. Niech A 4- I’ oznacza „A’ lub Y”. Gdy X i Y wyłączają się nawzajem, to zachodzi p(X + Y) =’p(X) + p(Y). (W przykładzie trójbarwnego talerza jest zatem prawdopodobieństwo ukazania się barwy czarnej lub różowej p(C -1- R) równe p(C) + p{R) = Va + 1/a

Wyobraźmy sobie dwa aparaty dostarczające zjawisk losowych (tak jak talerz wyżej opisany) ; nazwiemy je A i B. Mogą być one jednakowe lub różne, ale są fizycznie zupełnie odizolowane od siebie. Wprawiamy je równocześnie w akcję. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A zrealizuje zdarzenie A’, a zarazem B zrealizuje zdarzenie Y? Jeżeli to łączne zdarzenie oznaczymy przez XY, to odpowiedź da następująca reguła (którą można wyprowadzić z frekwencyjnej definicji prawdopodobieństwa):

V. (AT) = p(X) * p(Y).

Stosując reguły I—V J. Bernoulli (1G54— 1705), jeden z twórców rachunku prawdopodobieństwa, otrzymał wzór na prawdopodobieństwo P, że przy n-krotnym powtarzaniu niezależnym . eksperymentu, w którym zdarzenie A’ ma prawdopodobieństwo p, A’ pojawi się k razy. (a X’ n—k razy).

Tutaj należy czytać jako iloraz n\:k\(n — — k) 1; n ! = 1 * 2…?i; q należy rozumieć jako

i— p. Przykład: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyżej opisany trójbarwny talerz pokaże w 6 próbach dwa razy (ale nie więcej) kolor różowy? Tu n = 6, k =2, p — ‘/a q = = % i wzór (2) daje P = (*) (1/3)2 (2/3)« = = 15 • 2V3fl = 0,3292…;

zatem szukane prawdopodobieństwo jest bliskie 33°/o. Przy stosowaniu wzoru (2) trzeba się upewnić, że kolejne próby są niezależne od poprzednich w przypadku, gdy n jest bardzo duże, a p małe; c oznacza tu iloczyn np. Wzór (3) podaje prawdopodobieństwo Pk, że zdarzenie, które średnio w pewnym okresie obserwacyjnym pojawia się c razy, pojawi się w tym okresie k razy.

Przykład. Statystyka lotów pasażerskich wykazuje średnio jedno lądowanie przymusowe na trasie łącznej 100 000 km; jakie jest prawdopodobieństwo, że mój znajomy S., który zakupił bilet uprawniający, go do podróżowania samolotem wielokrotnie, aż do łącznej długości przelotów 100 000 km, znajdzie się w konieczności przymusowego lądowania, zanim zużyje bilet? Tu c = 1, bo 1 jest średnią liczbą ładowań przymusowych; obliczmy Pk według (3) dla Jfc = 0, a otrzymamy P0 = e~1 * 1/0! = = l/t? = 0,368. Takie jest prawdopodobieństwo, że panu S. nie zdarzy się taka sytuacja; stąd, według reguły III, 0,632 (a więc przeszło 63%) jest szukanym prawdopodobieństwem, że panu S. zdarzy się przymusowe lądowanie w okresie ważności biletu. Z przykładu widać, że wzór Poissona nie wymaga znajomości 7i i p. Pierwszym, który podał tego rodzaju zastosowania wzoru (3), był W. Bortkiewicz (koniec XIX w.).

Narodziny matematyki

Narodziny matematyki jako nauki i pierwszy okres jej rozkwitu związane są nierozerwalnie z historią kultury i cywilizacji greckiej. Tales (ok. 640—550 p.n.e.), Pitagoras (.ok. 500—510 p.n.e.), Hipokrates (ok. 460 p.n.e.), Eudoksos (408—355 p.n.e.) byli odkrywcami pierwszych twierdzeń geometrycznych (noszących często do dziś ich imiona — twierdzenie Talesa i Pitagorasa, księżyce Hipokratesa) i pierwszych matematycznych teorii. Euklides (ok. 330—275 p.n.e.) był pierwszym kodyfikatorem tej młodej nauki — jego Elementy na długie wieki stały się klasycznym podręcznikiem geometrii, przykładową realizacją wykładu matematyki w ujęciu dedukcyjnym. Archimedes (287—212 p.n.e.), największy matematyk starożytności, był odkrywcą wielu praw fizyki (w teorii równowagi, w teorii pływania ciał w cieczach) i twórcą subtelnych metod matematycznych zapowiadających przyszły rachunek całkowy. W teorii krzywych drugiego stopnia (stożkowych) Apoloniusz (ok. 260— 200 p.n.e.) sięgnął do zagadnień, których dalszy rozwój zaważył w sposób istotny na losach matematyki. Nawet w tych dziedzinach, w których matematyka grecka okazała się bezsilna wobec trudności przerastających środki, jakimi dysponowała (zagadnienia konstrukcji przy pomocy cyrkla i linijki — zadania podwojenia sześcianu, trysekcji kąta, rektyfikacji koła; arytmetyka liczb całkowitych, algebra), udało się Grekom nagromadzić olbrzymi materiał teoretyczny, który potem przez wiele wieków absorbował naukę nowożytną. Stosowali Grecy matematykę w pomiarach, konstrukcjach, w spekulacjach astronomicznych i kosmogonicznych, w rozważaniach teoretycznych nad zjawiskami fizycznymi (początki mechaniki, optyki, meteorologii). O podstawach matematyki dyskutowały rozmaite szkoły filozoficzne (sofiści, Platon, Arystoteles).

Po upadku cywilizacji greckiej i rzymskiej matematykę uprawiano, z niewielkim na ogół powodzeniem, w krajach arabskich, w Indiach i w krajach środkowej Azji. W Europie nieznaczne ożywienie w tej dziedzinie nauki przypada dopiero na późne średniowiecze (arytmetyka kupiecka, tablice astronomiczne). Powoli jednak i tu pod wpływem wielu różnorodnych czynników (rozkwit rzemiosła, handlu i żeglugi, wynalezienie i spopularyzowanie druku, odnalezienie i przełożenie na język łaciński klasycznych dzieł matematyki greckiej) następuje odrodzenie zainteresowań i badań naukowych. Już XVI w. przynosi matematyce europejskiej wiele nowych zdobyczy — rozwiązanie równań algebraicznych stopnia trzeciego i czwartego (G. Cardano, L. Ferrari), znaczne postępy w trygonometrii płaskiej i sferycznej, początki nowej symboliki matematycznej i rachunku algebraicznego (F. Viete), przezwyciężenie w wielu punktach ograniczeń matematyki starożytnej, nowe matematyczne podstawy astronomii (Kopernik).

Galą lawinę dalszych sukcesów przyniósł matematyce XVII w., zwany często w historii’ nauki wiekiem matematyki — wprowadzenie metody analitycznej w geometrii (Kartezjusz), nowe odkrycia i idee ‘w geometrii syntetycznej (Pascal, G. Desargues), prekursorskie prace z rachunku różniczkowego i całkowego (E. Torricelli, F. Cavalieri, G. de Roberval, P. Fermat), jawne sformułowanie pojęć i zasad tego rachunku (I. Newton, G. W. Leibniz), początki teorii liczb (Fennat) i rachunku prawdopodobieństwa (Pascal, Fermat), tablice logarytmiczne (J. Napier), pierwsze maszyny do rachowania (Pascal), nowe teorie matematyczne zjawisk fizycznych i problemów astronomicznych (Galileusz, J. Kepler, W. Snellius, Ch. Huygens, R. Hooke, Newton). Powstają w tym czasie liczne towarzystwa i instytucje naukowe, czasopisma, drukarnie i księgarnie specjalizujące się w wydawnictwach naukowych kwitnie korespondencja naukowa.

W pracach matematycznych XVIII w. rachunek różniczkowy i całkowy zdobywa coraz więcej zastosowań, wzbogaca się o wiele nowych zdobyczy i pod koniec tego stulecia urasta w rozległą analizę matematyczną, obejmującą oprócz klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego powstały w tym wieku rachunek wariacyjny (L. Euler, J. L. Lagrange), teorię równań różniczkowych zwyczajnych (bracia Johann i Jakob Bernoulli, Euler) i o pochodnych cząstkowych (Euler, Lagrange, P. S. Laplace), początki teorii i funkcji analitycznych (Euler, Lagrange). Równocześnie z rozwojem analizy widzimy olbrzymi postęp matematyki w teoretycznym ujmowaniu zjawisk fizycznych, problemów geodezyjnych i astronomicznych (Euler, Lagrange, A. G. Clairaut, J. d’Alembert, Laplace). Podziw świata naukowego wywołany przewrotem dokonanym w matematyce i jej zastosowaniach przez rachunek różniczkowy i całkowy spowodował zahamowanie na blisko stulecie tempa rozwoju innych dziedzin tej nauki — po długim okresie zastoju dopiero pod koniec XVIII w. poczyniono pewne postępy w algebrze (Lagrange, Ruffini, K. F. Gauss), również pod koniec tego wieku powstała geometria wykreślna (G. Monge), początki geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej, odkryto nowe metody w geometrii syntetycznej (L. N. Carnot).

Pierwsza polowa XIX w. w jeszcze większym stopniu wzbogaciła dotychczasowe zdobycze matematyki i w bardzo licznych przypadkach przyniosła definitywne rozwiązanie trudnych problemów, z jakimi dotąd bezskutecznie — często od przeszło już 2 tys. lat — borykała się nauka. Niejasnym dotąd podstawowym pojęciom analizy matematycznej nadano poprawna, precyzyjną formę (A. L. Cauchy), znalezienie prostej interpretacji geometrycznej liczb zespolonych (Gauss) ułatwiło im zdobycie prawa obywatelstwa w matematyce i powszechne ich zastosowanie ; powstanie geometrii hiperbolicznej (N. Łobaczewski, J. Bolyai) rozstrzygnęło wielowiekowy spór o tzw. piąty postulat Euklidesa i w znacznym stopniu zachwiało dotychczasowe poglądy na miejsce i rolę matematyki w zespole nauk przyrodniczych. Rozwinięcie pojęć geometrii rzutowej (J. V. Poncelet, J. D. Gergonne) otworzyło nowe kierunki badań w geometrii syntetycznej i analitycznej. Negatywne rozstrzygnięcie trudnego problemu rozwiązywania równań algebraicznych stopni wyższych niż czwarty za pomocą gotowych elementarnych wzorów (N. H. Abel, E. Galois) wzbogaciło matematykę o nowe cenne doświadczenie i stało się równocześnie zalążkiem teorii dwu podstawowych dziś struktur algebraicznych — grup i ciał. Wiele nowych ważnych twierdzeń i trudnych problemów dostarczyła w geometrii różniczkowej teoria powierzchni (Gauss), a w analizie matematycznej teoria szeregów trygonometrycznych (J. B. J. Fourier) i teoria funkcji eliptycznych (Abel, K. G. Jacobi). Solidne podstawy i nowe metody uzyskuje teoria funkcji analitycznych (Cauchy), trudne problemy stawia i rozwiązuje teoria liczb. (Gauss, A. M. Legendre), dalsze znaczne postępy robią rachunek wariacyjny, rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Zagadnienia algebry zyskują nową formę i nowe rozwiązania dzięki bujnemu rozwojowi teorii wyznaczników i macierzy (A. Cayley); szybkie postępy robią metody matematyczne w fizyce — powstaje matematyczna teoria przewodnictwa cieplnego, matematyczne ujęcia zjawisk elektromagnetycznych, nowe problemy i nowe rozwiązania znajduje mechanika teoretyczna. Ważnym czynnikiem szybkiego rozwoju matematyki w tym czasie stają się nowe formy organizacyjne — powstają trwałe środowiska badań matematycznych w uniwersytetach i szkołach politechnicznych, rośnie liczba matematyczno-fizycznych towarzystw naukowych, wzrasta liczba czasopism matematycznych i szeroko dostępnych publikacji.

Pierwszą połowę XIX w. charakteryzuje tendencja do wszechstronnej inwentaryzacji a w wielu dziedzinach nawet definitywnego zamknięcia całego dotychczasowego rozwoju matematyki; druga polowa tego stulecia była przede wszystkim okresem wprowadzania do matematyki i powolnego dojrzewania zupełnie nowych idei, których dalszy konsekwentny rozwój doprowadził do nadania tej nauce jej obecnej postaci. Nagromadzone w ciągu stuleci doświadczenia, olbrzymia ilość różnorodnych materiałów, skomplikowanych teorii i problemów mających wiele punktów styczności i cech podobieństwa, stwarzały potrzebę systematyzacji zagadnień i metod matematyki przez nadanie im jeszcze bardziej abstrakcyjnego charakteru, umożliwiającego jednolite ujmowanie i rozwiązywanie problemów pozornie od siebie odległych. W ten sposób powstaje koncepcja wielowymiarowego rachunku algebraicznego (H. G. Grassmann), szkic teorii rozmaitości wielowymiarowych (G. F. B. Riemann), program klasyfikacji problemów i twierdzeń geometrii, nowe idee w algebrze (E. E. Kummer, D. Hilbert) i przede wszystkim teoria mnogości i topologia zbiorów punktowych (G. F. Cantor). Nowe idee dojrzewają z trudem, powoli torują sobie drogę i stopniowo zyskują uznanie, a obok nich nieprzerwanie i wszechstronnie rozwija się matematyka w swej tradycyjnej formie. Wzbogaca się o nowe koncepcje, problemy i wyniki teoria równań różniczkowych zwyczajnych (J. H. Poincare, A. M. Liapunow, Ch. E. Picard) i o pochodnych cząstkowych (S. Kowalewska), teoria funkcji analitycznych (G. F. B. Riemann, K. Weierstrass), geometria różniczkowa L. Bianchi, M. S. Lie, J. G. Darboux, teoria liczb (P. Czebyszew), rachunek wariacyjny i rachunek prawdopodobieństwa. Powstaje topologia kombinatoryczna (Poincare) i nowe teorie matematyczne zjawisk fizycznych (J. C. Maxwell, I. A. Lorentz, L. E. Boltzmann, Poincare, M. Smoluchowski), nowy okres rozkwitu przeżywa rachunek prawdopodobieństwa (Czebyszew).

W pierwszych dwudziestu latach XX w. podstawowe idee nowej matematyki ogarniają stopniowo coraz szerszy krąg zagadnień. Na gruncie teorii mnogości i topologii powstaje teoria miary i całki (E. Borel, H. L. Lebesgue, A. Denjoy) i teoria funkcji rzeczywistych (R. Baire, N. N. Luzin, W. Sierpiński). Abstrakcyjne ujęcie zagadnień różnych dziedzin klasycznej analizy matematycznej prowadzi tło powstania teorii przestrzeni topologicznych (P. M. Frechet, F. Hausdorff). Równolegle podobny proces toczy się w algebrze — stopniowo dojrzewa tu idea syntezy (Steinitz, E. Noether), której konsekwentna realizacja doprowadziła w kilkanaście lat później do jasnego określenia przedmiotu i metod algebry i uczyniła z algebry abstrakcyjnej podstawową dyscyplinę matematyczną. Odkrycie pod koniec ubiegłego stulecia wielu paradoksów i sprzeczności w pojęciach teorii mnogości zmusiło matematyków początku XX w. do wszechstronnej dyskusji nad podstawami matematyki, zaczętej jeszcze pod koniec XIX w. pracami nad logiką matematyczną (G. Frege), podstawami arytmetyki liczb całkowitych (G. Peano), arytmetyki liczb rzeczywistych (B. Bolzano, R. Dedekind) i geometrii elementarnej (D. Hilbert) ; jej wynikiem było powstanie aksjomatycznej teorii mnogości (E. Zermelo, A. A. Fraenkel) i prób konsekwentnego aksjomatycznego wykładu matematyki (B. Russell, A. N. Whitehead). Duży wpływ w tym czasie na rozwój różnych dziedzin matematyki wywierały nowe teorie fizyki, przede wszystkim teoria względności.

Nowe oblicze matematyki wyłania się wyraźnie z chaosu’ różnorodnych kierunków i tendencji dopiero w latach dwudziestych i trzydziestych. Krystalizują się wtedy główne kierunki rozwoju teorii przestrzeni topologicznych (P. S. Urysohn, P. S. Aleksandrów, K. Kuratowski). Trafna idea połączenia prostych struktur algebraicznych ze strukturami topologicznymi, realizowana kolejno w pojęciach przestrzeni wektorowych unormowanych (S. Banach), przestrzeni Hilberta, grup topologicznych (L. S. Pontriagin), przestrzeni wektorowych topologicznych lokalnie wypukłych i algebr unormowanych (S. Mazur, I. M. Gelfand). doprowadziło do powstania analizy funkcjonalnej — nowego działu matematyki, który w krótkim czasie zajął kluczową pozycję wśród dyscyplin matematycznych, udowodniając swą przydatność w rozwiązywaniu klasycznych problemów teorii równań całkowych, teorii równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, teorii funkcji analitycznych itp. Równocześnie algebra ostatecznie przybiera postać abstrakcyjnej teorii struktur algebraicznych, a jej wyniki i metody coraz częściej stosuje się w innych dziedzinach matematyki. Solidne podstawy i nowe zastosowania zyskuje rachunek prawdopodobieństwa (A. N. Kołmogorow, A. J. Chinczyn) i statystyka matematyczna. Stosowanie metod algebry abstrakcyjnej przynosi doskonałe wyniki w topologii konatorycznej i przekształca ją w topologię algebraiczną, podobnie pomyślne zapowiedzi przyszłych postępów daje stosowanie tych metod w geometrii algebraicznej. Pod koniec lat trzydziestych wyraźne już stają się nowe zasady organizacji matematyki, .hierarchia i współzależność rozmaitych jej gałęzi (Bourbaki). W porównaniu z poprzednimi okresami wielokrotnie wzrasta liczba czasopism i publikacji matematycznych, systematycznie odbywają się międzynarodowe kongresy matematyczne, zjazdy krajowe i ‘międzynarodowe konferencje; powstają nowe środowiska badań matematycznych i nowe szkoły — m. in. zasłużoną sławą cieszy się polska szkoła matematyczna (w Warszawie Z. Janiszewski, W. Sierpiński, S. Mazurkiewicz, B. Knaster, K. Kuratowski, K. Borsuk, A. Tarski i in.; we Lwowie S. Banach. H. Steinhaus, J. Schauder, W. Orlicz, S. Mazur, W. Nikliborc i in.). O ile np. przed r. 1900 nie było w Polsce żadnej szkoły matematycznej, a twórczych matematyków było zaledwie kilku, to obecnie jest ich kilkudziesięciu.

W latach 1940—1965 zapoczątkowany w poprzednich dziesięcioleciach proces unifikacji metod i wyników rozmaitych gałęzi matematyki postępuje dalej naprzód. Listę kilkudziesięciu działów matematyki nadal otwierają: algebra, topologia i analiza funkcjonalna. Na dalszych ważnych miejscach znajdują się: rachunek prawdopodobieństwa, badania nad podstawami matematyki, topologia algebraiczna, geometria algebraiczna i podstawowe działy analizy matematycznej — teoria równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, teoria funkcji analitycznych, geometria różniczkowa i teoria równań całkowych. Równocześnie na tle aktualnego stanu tych klasycznych i nowych gałęzi matematyki zarysowują się kontury nowych syntez, perspektywy dalszych uogólnień.

W ostatnich 25 latach w niespotykanym dotąd zakresie powiększyły się tereny zastosowań matematyki. Metody matematyczne stosuje się obecnie już nie tylko w fizyce, astronomii, naukach technicznych i im podobnych tradycyjnych dziedzinach zastosowań analizy matematycznej, ale także w naukach społecznych i ekonomicznych, w medycynie, w lingwistyce, w planowaniu, w organizacji i kierowaniu przedsiębiorstw i zakładów produkcyjnych. Powstanie nowoczesnej techniki obliczeniowej zwielokrotniło ich przydatność i efektywność — mamy na myśli automatycznie i szybko liczące maszyny elektronowe, cyfrowe i analogowe. Wspomagane tą techniką nowe dziedziny matematyki, takie jak teoria gier, programowanie liniowe i dynamiczne, teoria masowej obsługi, teoria optymalnych decyzji i wiele innych, dają teoretyczne podstawy i praktyczne metody postępowania w rozwiązywaniu wielu zagadnień życia nowoczesnego społeczeństwa — stąd stale rosnące zapotrzebowanie na matematyków różnych specjalności i coraz ważniejsza rola, jaką matematyka odgrywa w fachowym wykształceniu współczesnego człowieka.

Badania matematyczne

Podstawowa metoda badań matematycznych nazywana metodą aksjomatyczną, narzucona została matematyce przez sam przedmiot i abstrakcyjny charakter tej nauki. W jej ujęciu najprostsze teorie matematyczne mają następującą postać. Określmy dowolny zbiór — oznaczmy go przez A — w którym zdefiniowano pewną ilość związków (dokładniej: relacji, działań, funkcji itp., przy czym każdy z tych terminów ma ściśle ustalony sens matematyczny) — oznaczmy je literami hu …, h; o zbiorze A i związkach hu lik zakłada się, że spełniają, jakieś warunki — oznaczmy je przez Aj3An. Przedmiot teorii (A’, hu hf;; Av An) stanowią logiczne konsekwencje przyjętych założeń. Zbiór X i związki hl,…>hii to dane rozpatrywanej teorii, założenia Au…,An to jej aksjomat y, a logiczne wnioski z tych założeń to twierdzenia teorii. Zupełnie nieistotna w takiej teorii jest natura elementów, z jakich składa się zbiór X, nieważne jest pytanie, czy są nimi np. punkty płaszczyzny, proste w przestrzeni, liczby, pary liczb, czy też funkcje określone, powiedzmy, w przedziale (0,1). Podobnie bez znaczenia jest kwestia konkretnych form związków /z13…,hf: — ważne są jedynie ich własności wyrażone w aksjomatach.

Taką właśnie postać mają podstawowe teorie współczesnej matematyki: teoria półgrup. grup, pierścieni, ciał, przestrzeni wektorowych, teoria zbiorów częściowo uporządkowanych i uporządkowanych, teoria przestrzeni metrycznych i wiele innych. Podobną formę mają też teorie o strukturze bardziej skomplikowanej, jak teoria przestrzeni topologicznych, grup topologicznych, przestrzeni wektorowych topologicznych, przestrzeni wektorowych unormowanych itp.

Tak np. teorię półgrup otrzymuje się biorąc za punkt wyjścia założenie, że dany jest zbiór X i określone w tym zbiorze działanie h przyporządkowujące każdej parze a, b elementów zbioru A’ ściśle określony element tego zbioru, oznaczmy go przez h(a, b), i to w ten sposób, że spełniony jest warunek.

Aj dla dowolnych trzech elementów a, b, c zbioru X zachodzi równość h(h(a, b), c) = = h(a, h(b, c)).

W tym przypadku, jak widać, na zespół związków hu Il[ składa się tylko jedno działanie li (tzn. k = 1), a system aksjomatów ogranicza się do jednego. Przyjęło się mówić, że działanie h określa w zbiorze A” strukturę półgrupy, a aksjomat /l1 nazywać prawem łączności.

Teorię grup (przemiennych) otrzymuje się biorąc za punkt wyjścia te same dane co w teorii półgrup, tzn. zbiór X i działanie h, i uzupełniając aksjomat A1 trzema dalszymi aksjomatami:

A2: dla dowolnych elementów a, b zbioru X zachodzi równość li(a,b) = h(b)a;

A3: istnieje w zbiorze X element c. taki że równość h(a, c) — a zachodzi dla każdego elementu a zbioru X;

A4: do każdego elementu a zbioru A* istnieje w tym zbiorze element a’, taki że h(a, a1) = c.

Aksjomat A2 nosi nazwę prawa przemienności działania h, występujący w aksjomacie A3 element c nazywa się elementem neutralnym, a element a’ z aksjomatu A4 elementem odwrotnym do a. O działaniu h spełniającym aksjomaty A2— A4 zwykło się mówić, że określa w zbiorze X strukturę grupy, przemiennej, a sam zbiór X nazywać grupą przemienił ą.

Półgrupy i grupy są przykładami struktur algebraicznych, stanowiących przedmiot badań algebry abstrakcyjnej. Innego gatunku ważną strukturę otrzymuje się biorąc pod uwagę zespól (A, R, 5) złożony ze zbioru X i określonej w nim relacji R spełniającej warunek:

Bt: jeżeli relacja R zachodzi między elementami a i b oraz elementami b i c zbioru X, to zachodzi także między elementami a i c; dla każdego elementu a zbioru X relacja R nachodzi między a i a. Pierwsza część aksjomatu B nosi nazwę prawa przechodniości, a o relacji R spełniającej go mówi się, że określa w zbiorze X strukturę częściowego porządku; sam zbiór X nazywa się zbiorem częściowo uporządkowanym.

Uzupełniając warunek Bj dwoma dalszymi aksjomatami:

B2: jeżeli relacja R zachodzi między elementami a i b oraz b i a zbioru X* to a = b B3: dla dowolnych elementów a, b zbioru X relacja R zachodzi bądź między a i b, bądź między b i a

otrzymujemy 2espół (X, R ; B1} Bz, B3) stanowiący punkt wyjścia teorii zbiorów uporządkowanych. O relacji R spełniającej aksjomaty tej teorii mówi się, że określa w zbiorze X strukturę porządku, a sam zbiór X nazywa się zbiorem uporządkowanym.

Jeszcze innego rodzaju strukturę otrzymuje się biorąc za punkt wyjścia zespół (A’, Q ; CU C2, C3) złożony ze zbioru X i funkcji q przyporządkowującej każdej parze elementów a, b tego zbioru liczbę rzeczywistą o(a, b) i spełniającej następujące założenia:

Cj: dla dowolnych elementów, a, b zbioru A” jest o (a, b) a Q {a, b) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = b ;

Co: dla dowolnych elementów a, b zbioru A” zachodzi równość o(a, b) = Q(b, a) ;

C1: dla dowolnych trzech elementów a, b, c zbioru A’ zachodzi nierówność.

Funkcję o spełniającą te aksjomaty przyjęto nazywać metryką, a liczbę Q(O, b) — odległością elementów a i b. Mówi się przy tym, że Q określa w zbiorze X strukturę przestrzeni metrycznej, a sam zbiór X nazywa się przestrzenią metryczną.

Struktury’ półgrupy i grupy są przykładami struktur algebraicznych, struktury zbioru częściowo uporządkowanego i zbioru uporządkowanego — przykładami struktur porządkowych, a struktura przestrzeni metrycznej — przykładem struktury topologicznej. Mniej jednolite, ale bogatsze i często znacznie ważniejsze struktury otrzymuje się łącząc w rozmaitych wariantach struktury tych trzech podstawowych typów, tzn. rozpatrując zbiory, w których określone są pewne struktury czyste i spełnione są dodatkowo określone warunki zgodności tych struktur.

Tak np. strukturę grupy (przemiennej) uporządkowanej otrzymuje się rozpatrując zespól A2, A3, A4 B1, B2, B3, złożony ze zbioru X, działania h spełniającego aksjomaty A,—A4 definicji grupy przemiennej oraz relacji R spełniającej aksjomaty Bj—B3 struktury zbioru uporządkowanego, spełniających ponadto warunek wyrażający pewien związek relacji R z działaniem h, tj. warunek:

D: jeżeli relacja R zachodzi między elementami a, b zbioru X, to dla dowolnego elementu c tego zbioru relacja R zachodzi także między elementami h[a, c) i h[b, c).

Każda z opisanych wyżej struktur stanowi ogólny abstrakcyjny schemat, w którym mieszczą się zazwyczaj liczne konkretne przypadki indywidualne, co zwalnia od obowiązku rozpatrywania każdego z nich z osobna i pozwala w każdym z nich automatycznie stosować wszystkie pojęcia, twierdzenia, wnioski i konstrukcje teorii ogólnej. Struktury te są, inaczej mówiąc, uproszczonymi modelami sytuacji często analizowanych w matematyce i jej zastosowaniach, uwzględniającymi jedynie ich zasadnicze strukturalne cechy i świadomie pomijającymi cechy przypadkowe i drugorzędne.

Okazuje się przy tym, że za pomocą takich właśnie abstrakcyjnych modeli daje się opisać cala klasyczna matematyka, w szczególności — jak łatwo przekonać się o tym na przykładach — arytmetyka i algebra elementarna.

Tak np. w prosty sposób sprawdza się, że dodawanie jest działaniem określającym w zbiorze Z liczb całkowitych strukturę grupy przemiennej. Kładąc mianowicie dla dowolnych liczb całkowitych a i b w miejsce li[a, b) sumę a -f- b, przyjmując e = 0, i a — —a, widzimy natychmiast, że spełnione są aksjomaty Aj—A4 definicji grupy przemiennej —dobrze znanym z arytmetyki liczb całkowitych.

Podobnie łatwo sprawdza się, że dobrze znana relacja nierówności ^ określa w zbiorze Z strukturę porządku; aksjorriatom B1—B3 odpowiadają tu proste własności tej relacji z nierówności a ^ b i b ^ a wynika, że a = b ; 3. dla dowolnych liczb całkowitych a i b albo a ^ b, albo b ^ a. Spełniony jest też aksjomat D definicji struktury grupy uporządkowanej — przybiera on tu postać następującej własności łączącej dodawanie z relacją nierówności : jeżeli a b, to dla dowolnej liczby całkowitej c jest też a + c ^ b + c. Zatem dodawanie i relacja nierówności określają w zbiorze Z strukturę grupy przemiennej uporządkowanej.

W zbiorze Z mnożenie określa strukturę półgrupy — prawo łączności ma tu postać równości (a1>)c = a(bc). Jeżeli zauważymy, że w zbiorze tym mnożenie i dodawanie spełniają prawo rozdzielności, a[b + c) = nb + ac, to otrzymamy ważny wniosek, że działania te wzięte razem określają w tym zbiorze strukturę algebraiczną zwaną strukturą pierścienia. Taką samą strukturę w zbiorze wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych określają działania dodawania i mnożenia wielomianów.

W zbiorze R liczb rzeczywistych działanie dodawania określa, podobnie jak w zbiorze liczb całkowitych, strukturę grupy przemiennej. W zbiorze R’ liczb rzeczywistych różnych od zera mnożenie określa również strukturę grupy przemiennej — rolę elementu neutralnego odgrywa tu liczba 1, a rolę elementu odwrotnego do liczby a liczba —. Ponadto a oba te działania w zbiorze R związane są prawem rozdzielności. Prowadzi to do wniosku, że dodawanie i mnożenie określają w zbiorze liczb rzeczywistych strukturę ciała.

W tym samym zbiorze R relacja nierówności, analogicznie jak w zbiorze Z, określa strukturę porządku, a wraz z dodawaniem — strukturę grupy przemiennej uporządkowanej.

Obierając dla dowolnej pary a, b liczb rzeczywistych Q(a, b) — | a — b | otrzymuje się, jak łatwo sprawdzić, funkcję Q spełniającą aksjomaty C1—C3 definicji metryki. Funkcja ta określa tym samym w zbiorze R strukturę przestrzeni metrycznej.

Właśnie ten fakt, że zbiór liczb rzeczywistych łączy w sobie, przez określenie i równoczesne rozpatrywanie w nim dodawania, mnożenia, relacji nierówności i metryki, tyle różnorodnych struktur, w dużym stopniu zadecydował o roli, jaką było mu dane odegrać w rozwoju matematyki i jaką odgrywa we współczesnej matematyce i jej zastosowaniach.

Współczesna matematyka jest owocem wielowiekowego rozwoju, w czasie którego stopniowo zmieniał się przedmiot tej nauki i zakres jej zastosowań, a wraz z tym zmieniały się również metody badań w matematyce.

Pierwotna matematyka Egipcjan (IV—II tysiąclecia p.n.e.) i Babilończyków (III—II tysiąclecia p.n.e.) była swoistą mieszaniną arytmetycznych reguł kupieckiego rachunku, oderwanych geometrycznych obserwacji związanych najczęściej z podziałem ziemi (miernictwo egipskie, babilońskie urządzenia irygacyjne) i konstrukcjami architektonicznymi, oraz początków teoretycznych spekulacji i nieśmiałych uogólnień zdradzających kierunki przyszłego jej rozwoju.

Możliwości maszyn matematycznych

Maszyny matematyczne wykonują bardzo skomplikowane rachunki i inne czynności umysłowe, jednak czynności te muszą być uprzednio szczegółowo zaprogramowane, musi być wprowadzony do maszyny szczegółowy przepis, algorytm, który zawiera wszystkie niezbędne informacje o kolejnych etapach rozwiązania. Możliwości współczesnych maszyn nie wykraczają poza rozwiązania algorytmów i tylko takie czynności, które można zalgorytmizować, mogą być rozwiązywane na maszynach cyfrowych. Jak wiadomo, w matematyce większości problemów nie da się rozwiązać algorytmicznie, dlatego maszyny matematyczne nie dadzą się zastosować do większości rozwiązywanych w matematyce problemów. Fakty te zostały dowiedzione przez K. Godla, A. M. Turinga i E. L. Posta w latach 1936—1937. Fakt ten wyraził prof. H. Steinhaus w sposób następujący: „Pewną wątpliwość co do roli matematyki wzbudzają także wszelkiego rodzaju graficzne i mechaniczne metody liczenia. Od najprostszej tabliczki mnożenia do najbardziej zawiłych maszyn do rachowania, integrafów ‘i analizatorów, przedstawiają te środki pomocnicze taką ogromną skalę przyrządów wyręczającą mózg w jego czynnościach, iż nieraz słyszy się głosy, które pod wrażeniem tych subtelnych i precyzyjnie pracujących automatów wyrażają przypuszczenie, że, tak jak mogą już teraz częściowo, w przyszłości będą mogły zupełnie zastąpić żywych matematyków. Rzecz ma się oczywiście inaczej. Nie tylko obecne, ale i przyszłe najdowcipniejsze przyrządy nie zastąpią człowieka w jego roli twórczej. Nie zastąpią go nie tylko dlatego, że człowiek konstruuje i obmyśla wszelkie maszyny matematyczne, ale i dlatego, że zdolność maszyny ma pewne naturalne granice, których nigdy nie przekroczy” (H. Steinhaus: Czym jest, a czym nie jest matematyka, str. 69—70, Lwów 1923). Słowa te są również dzisiaj całkowicie aktualne.

Znaczenie maszyn cyfrowych

W technice maszyny te stanowią nowe, doskonale narzędzie pracy inżyniera i konstruktora. Nie tylko pozwalają na szybsze i tańsze liczenie, ale również stwarzają nowe metody pracy oraz nową problematykę (np. zastąpienie eksperymentu rachunkiem). Zamiast badać model samolotu w tunelu aerodynamicznym, można wszystkie jego własności obliczyć. Zastosowanie maszyn matematycznych w automatyce pozwala, dzięki bardzo dużej szybkości rachowania oraz dużym możliwościom matematycznym, budować układy automatycznej regulacji, które bez udziału maszyn byłyby nie do pomyślenia. Z drugiej strony okazało się, że w podobny sposób, jak się buduje maszyny cyfrowe, można budować wiele innych urządzeń elektronicznych, uzyskując dzięki temu znacznie lepsze parametry techniczne, bądź nawet zupełnie nowe możliwości. W ten sposób powstała tzw. technika cyfrowa, która szybko przekształciła się w samodzielną dyscyplinę naukową. Technika cyfrowa wprowadza np. znaczne uproszczenie analizatorów jądrowych, umożliwia budowanie aparatury do czytania tekstu. Technika cyfrowa wkracza w technikę łączności. Budowane są eksperymentalne łącznice telefoniczne oparte na elementach maszyn cyfrowych, cyfrowe przyrządy pomiarowe, cyfrowe elementy automatycznej regulacji.

Maszyny cyfrowe przyspieszyły rozwój niektórych działów elektroniki, np. układów tranzystorowych i ferrytowych, oraz postawiły przed elektroniką nowe problemy do rozwiązania. Zaczęto badać możliwość zastosowania do celów rachunkowych nowych zjawisk fizycznych, jak np. nadprzewodnictwo, drgania parametryczne i inne zjawiska.

Aparaty cyfrowe mają również pewne znaczenie w matematyce. Nowe narzędzia wymagają nowych metod rachowania. Metody numeryczne rozwinęły się raczej pod wpływem znacznie prymitywniejszych środków obliczeniowych i w stosunku do nowoczesnych maszyn matematycznych nie są przystosowane właściwie. Obecnie prowadzi się badania mające na celu stworzenie metod numerycznych uwzględniających możliwości maszyn matematycznych. Konstrukcja maszyn oraz programowanie spowodowały ponowne zainteresowanie systemami formalnymi oraz metodami finitystycznymi. Wydaje się, że maszyny mogą umożliwić lepsze zrozumienie podstawowych pojęć matematycznych, takich jak funkcja, liczba, zmienna. Jakkolwiek w matematyce nie przypisuje się dużego znaczenia teoretycznego formalizmowi, jego znaczenie praktyczne może być niemałe. Warto przypomnieć, że dzisiejszą pisownię liczb, a w szczególności „wynalezienie” zera, zawdzięczamy najprostszemu aparatowi matematycznemu — abakowi.

Zastosowanie maszyn cyfrowych

Zastosowania elektronicznych maszyn cyfrowych. Maszyny cyfrowe znalazły główne zastosowanie w obliczeniach naukowych i technicznych. Obecnie produkowane maszyny dzieli się na trzy klasy: małe, duże i średnie. Podział ten nie jest zbyt precyzyjny i stały, gdyż np. maszyny uważane niedawno za duże dzisiaj klasyfikowane są jako średnie.

Maszyny małe mają szybkość kilkuset operacji na sekundę oraz pamięć o pojemności kilku tysięcy komórek. Maszyny średniej wielkości wykonują kilkadziesiąt tysięcy operacji na sekundę i mają pamięć o pojemności kilkudziesięciu tysięcy komórek. Maszyny duże liczą z szybkością kilkuset tysięcy operacji na sekundę, a pamięć ich ma pojemność kilkuset tysięcy komórek.

Maszyny małe są stosowane do obliczeń inżynieryjnych, takich jak obliczenia geodezyjne, systemów optycznych, konstrukcji stalowych (np. mostów), projektowanie filtrów elektrycznych, transformatorów wysoko i niskonapięciowych, silników elektrycznych, linii wysokiego napięcia, rozpływu energii elektrycznej, projektowanie konstrukcji lotniczych, statków, urządzeń chemicznych, statystyczna kontrola jakości itp. Maszyny te, ze względu na mały koszt i prostą obsługę, mogą być zainstalowane w każdym biurze konstrukcyjnym i stanowią narzędzie konstruktora podobnie jak suwak rachunkowy i arytmometr. Zastosowanie maszyn matematycznych do pracy konstrukcyjnej znacznie obniża koszty projektu i skraca czas jego opracowania.

Maszyny średniej wielkości stosowane są głównie do problemów naukowych, rachunków administracyjnych i bardziej skomplikowanych zagadnień technicznych. Główne zastosowanie tej klasy maszyn przewidywane jest w przyszłości w administracji. Maszyny te wymagają już dużego personelu matematycznego (kilkadziesiąt do kilkuset osób obsługi). Rozwiązywane są przy ich pomocy układy algebraicznych równań liniowych wysokiego rzędu (np. 1000), równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. W administracji służą do prowadzenia księgowości dużych zakładów przemysłowych, rachunków bankowych i podobnych celów.

Duże maszyny buduje się na ogół do potrzeb specjalnych.

Inną grupę maszyn cyfrowych stanowią maszyny do sterowania. Jakkolwiek zasada ich pracy jest podobna jak u maszyn poprzednich, w szczegółach różnią się one istotnie. Maszyna do sterowania otrzymuje dane wprost z przyrządów pomiarowych mierzących potrzebne parametry obiektu sterowanego, a wynik obliczenia jest nie drukowany jak poprzednio, lecz podawany wprost do odpowiednich urządzeń sterujących. Np. maszyny cyfrowe stosuje się do sterowania obrabiarkami, jak i maszynami do cięcia blach okrętowych, do kierowania przebiegiem procesów chemicznych, hutniczych, do sterowania lotem rakiet i samolotów. W wielu przypadkach maszyny cyfrowe pozwalają na uzyskanie znacznie większej wydajności i jakości procesu technologicznego oraz na obniżenie kosztów produkcji.

Oddzielną grupę stanowią maszyny do celów nienumerycznych. Maszyny te służą w zasadzie do realizowania dowolnych algorytmów niekoniecznie numerycznych, np. algorytmów dowodzenia twierdzeń w systemach sformalizowanych, algorytmów mechanicznego tłumaczenia. Wymienionym zagadnieniom przypisuje się ostatnio dość duże znaczenie praktyczne. Robione były próby zastosowania maszyn cyfrowych do komponowania utworów muzycznych lub analizy tekstów literackich. Czyniono wysiłki symulowania za pomocą, maszyn cyfrowych niektórych zjawisk biologicznych, psychicznych czy społecznych. Np. próbowano naśladować proces uczenia się, odruch warunkowy itp.

Matematyczne własności maszyny

Organizacja charakteryzuje ogólne matematyczne własności maszyny. Nowoczesne maszyny cyfrowe służą w zasadzie do obliczania wartości funkcji zdefiniowanych przez działanie arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) oraz rekurencyjne. Maszyna cyfrowa składa się z arytmometru, wykonującego cztery działania arytmetyczne, oraz tzw. pamięci, służącej do przechowywania danych oraz wyników częściowych. Pamięć jest podzielona na kolejno ponumerowane komórki. Numer)’ komórek nazywane są adresami. W każdej komórce może być zapisana jedna liczba. Ponadto w każdej komórce może być zapisana instrukcja, składająca się z czterech liczb au a2) a3, d, gdzie aj i a, są adresami obu argumentów, a3 adresem wyniku, a d numerem działania (np. działania : dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie mają odpowiednio numery 1, 2, 3, 4).

Instrukcja taka znaczy: nastaw w arytmometrze liczby znajdujące się w pamięci pod adresami a1 oraz a2, arytmometr nastaw na działanie d podane w instrukcji, wykonaj nastawione działanie i wynik umieść w pamięci pod adresem a3.

Np. dany jest wzór

a — b * c / d + e – f

przy czym liczby a, b, c, d, e, / mieszczą się odpowiednio w komórkach 100, 101, 102, 103, 104, 105. Odpowiednie instrukcje będą miały postać:

101.102.106.3

100,106,107,2

103.104.108.1

108.105.109.2

107.109.110.4

Ciąg instrukcji opisujący wykonanie jakiegoś zadania nazywamy programem. Program obliczenia znajduje się również w kolejnych komórkach pamięci, np. w podanym przykładzie w komórkach 0,1,2,3,4. Oprócz pamięci i arytmometru maszyna cyfrowa ma urządzenie sterujące,, które pobiera z pamięci kolejne instrukcje i wykonuje. Po wykonaniu całego programu obliczenie jest zakończone. Programy obliczeń wykonywanych na maszynach cyfrowych zawierają od kilkudziesięciu do kilku tysięcy instrukcji.

Z punktu widzenia technicznego zasada działania maszyny cyfrowej sprowadza się do elektronowej realizacji elementarnych operacji logicznych, takich jak suma logiczna, iloczyn logiczny i negacja. Operacje te są realizowane w nowoczesnych maszynach przez układy lampowe, tranzystorowe bądź ferrytowe. Pamięć maszyny jest na ogół oparta na zjawiskach magnetycznych. Dane i program są wprowadzane do maszyny przeważnie z dziurkowanych taśm papierowych lub kart perforowanych, a wyniki obliczeń drukowane są przez specjalne maszyny do pisania bądź ‘inne urządzenia drukujące. Ostatnio stosuje się do drukowania wyników specjalne urządzenia elektroniczne piszące kilkadziesiąt tysięcy symboli na sekundę.

PARTNERZY:
pług śnieżny | Okulary Tychy | tłumaczenia warszawa | deklaracja zgodności